Teoría de la Probabilidad - Unidad II - Distribuciones de Probabilidad

En ocasiones, al llevar a cabo un experimento aleatorio, no solo es deseable determinar todos los resultados posibles (espacio muestral), sino, expresar algunos de esos resultados como el conteo de alguna característica (si los eventos son cualitativos) o la suma de unos de sus valores (si los eventos son cuantitativos), lo cual permite dos cosas: abordar problemáticas más complejas y resolverlas de forma más sencilla; y calcular esperanzas (posibles medias) lo cual abre el camino hacia la inferencia estadística.

Distribuciones de Probabilidad

Una distribución de probabilidad es la lista de todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad relacionada con cada uno.

Variable aleatoria

Resultado que se obtiene al azar en un experimento y que puede asumir valores diferentes


Ejemplo 15. Suponga que estamos interesados en el número de caras que caen al lanzar tres veces una moneda. Este es el experimento. Genere la distribución de frecuencia para este experimento.

En el ejemplo anterior se tiene:

• Experimento: Lanzar una moneda tres veces.
• Resultados: SSS, SSC, SCS, SCC, …, CCC
• Evento: podría ser, Obtener una cara en cada lanzamiento
• Variable Aleatoria: X. que puede tomar los valores de 0, 1, 2 y 3

Ahora centrémonos en el número de caras que se obtienen y sus respectivas probabilidades de ocurrencia.

Siempre ocurre que:

• La probabilidad de un resultado en particular siempre es un valor entre [0 – 1]
• La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles es igual a 1

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Las primeras toman solo valores puntuales, aun cuando estos sean números decimales. Las segundas pueden tomar infinitos valores dentro de un intervalo.

En ocasiones la variable aleatoria esta ya implícita en los resultados posibles del experimento aleatorio.

Si se organizan los valores posibles de una variable aleatoria discreta en una distribución de probabilidad, la distribución que se obtiene es una distribución de probabilidad discreta. Y si la variable aleatoria es continua, pues la distribución de probabilidad que de ella se genera, también lo será.

Una vez que se tiene definida una distribución de probabilidad, es posible calcular su media (también conocida como valor esperado) y su varianza.

Ejemplo 16. Se lanza un dado y se observa el resultado que se obtiene.

• Experimento: Lanzar un dado.
• Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Evento: podría ser, Obtener un tres (3).
• Variable Aleatoria: X: puede tomar los valores 1, 2,…, 6.

Para calcular la esperanza:

Que significa esto: nada.


Ejemplo 17. Se lanza un dado y se observa el resultado que se obtiene. Si obtiene 1 o 2 gana Bs. 100. Si obtiene 3 gana Bs. 500. En caso contrario no gana nada.

• Experimento: Lanzar un dado.
• Resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Evento: podría ser, Obtener un tres (3).
• Variable Aleatoria: X: puede tomar los valores 0, 100, 500 (definida como ganancia en función del resultado).

Que significa esto: que si un jugador repite el juego (experimento) muchas veces la ganancia final será como si hubiese ganado Bs.116.7 en cada jugada.

Ahora bien, si el costo de participar en el juego fuese inferior a la esperanza, el juego sería beneficioso para el jugador. En caso contrario, lo sería para la banca. Si fuese igual, se catalogaría de justo.


Ejemplo 18. Un juego de azar consiste en lanzar dos dados y se observa la suma que se obtiene de ambos resultados. Para poder participar debe escoger un número (entre 2 y 12) y apostar Bs10 a ese número. Si el resultado obtenido:

• coincide con el número seleccionado, el participante gana,
• es igual a 7, la casa gana,
• cualquier otro resultado, nadie gana.

Si usted quisiera participar, ¿qué número escogería? ¿Cuál sería el valor esperado del juego? ¿Es un juego justo?

Deberíamos escoger aquel número que ofrezca una mayor probabilidad de salir (sin contar el 7 que es el de la casa). Pues debería ser el 6 o el 8. Escojamos el 6 y operemos.

Vemos que la esperanza es de Bs. 9,72. A esto le restamos el costo de participar (Bs.10) nos queda:
Beneficio Esperado = 9,72 – 10 = -0,28 es decir, a la larga nos espera una pérdida. El juego no es justo.

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