Teoría de la Probabilidad - Unidad IV - Distribuciones de Probabilidad Continuas

Estas distribuciones describen la posibilidad de que una variable aleatoria continua, que tiene un número infinito de valores posibles, se encuentre dentro de un rango específico.

Distribución uniforme continua.

Aplica cuando:

• La variable aleatoria es continua.
• Tiene límites definidos, es decir, se mueven dentro de un rango limitado.
• Todos los posibles valores de la variable tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

La función de densidad de una variable uniforme continua es:

La media y desviación estándar de una distribución uniforme continua se determina como:

Ejemplo 27. Una unidad de transporte de la UC que cubre la ruta FACES – Bomba Santa Ana, sale de la parada cada 30 minutos entre las 11 a.m. y las 10 p.m.

Se define:
X: tiempo que un estudiante espera por una unidad de transporte.
El tiempo se mide en una escala continua, y los tiempos de espera pueden variar desde 0 hasta 30 minutos.
Se pide:

Elabore la gráfica de la distribución.

¿Cuánto tendrá que esperar, por lo general, un estudiante por el autobús? ¿Cuál es la desviación estándar?

El tiempo de espera típico para el servicio del autobús es de 15 minutos. La variación en los tiempos de espera de los estudiantes es de 8,66 min.


¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga que esperar más de 25 minutos?

Se determina como la región conformada por el intervalo de interés (25 – 30 minutos) y la función de densidad (1/30):

P(25 ≤ x ≤ 30) = (30 – 25) (1/30) = (5)(1/30) = 16,67%


¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante espere entre 10 y 20 minutos?

P(10 ≤ x ≤ 20) = (20 – 10) (1/30) = (10)(1/30) = 33,33%

Distribución de Probabilidad Exponencial

Cuando la variable aleatoria X. es el intervalo de tiempo o espacio, requerido para obtener un número específico de éxito. Por ejemplo, si las llegadas de automóvil a una caseta de peaje siguen la ley del Poisson, entonces el tiempo transcurrido entre llegadas sucesivas de automóviles es lo que llamaríamos una variable exponencial.

La distribución exponencial tiene un solo parámetro: β, el cual expresa el promedio del tamaño del intervalo que transcurre para que se presente un hecho cualquiera.

Por tanto, existe una estrecha relación entre la distribución de Poisson y la Exponencial. β = 1/λ

Donde:
X: intervalo de tiempo entre ocurrencias de la variable de Poisson
e: 2,7182
β: tiempo entre sucesivas ocurrencias. λ: promedio de ocurrencias por unidad de tiempo

Esta función siempre devuelve la probabilidad acumulada hasta X.

Ejemplo 28. La distribución de vida durante la cual cierta marca de computadora funciona eficazmente, es exponencial con β = 360 horas. Cuál es la probabilidad de que la computadora funcione eficazmente:

Menos de 180 horas.

Se define:
X: número de horas en que opera eficazmente la computadora.

Ejemplo 29. Cierto componente electrónico presenta, en promedio, una falla cada 5 años (0,2 fallas por año). Si 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años?

Etapa 1: Se determina la probabilidad de que un componente dure más de 8 años.

Se define:
X: “Años que transcurren hasta que un componente presenta una falla”

P(x) = e(x; β)
Donde:
β = 1/ λ = 1/0,2 = 5

Calculamos:

Existe una probabilidad del 20,18% de que un componente electrónico seleccionado al azar dure por lo menos 8 años sin presentar fallas.

Etapa 2: Conociendo la probabilidad de que un componente instalado dure más de 8 años, se procede a determinar la probabilidad de que 2 de 5 de estos componentes sigan funcionando después de 8 años.

Se define:
X: “Número de componentes que duran más de 8 años”
P(x) = b(x; n, π)

Donde:
n: 5; π: 0,2018

Calculamos:

La probabilidad de que, por lo menos, dos sistemas sigan funcionando después de 8 años es de 26,64%

Distribución de probabilidad Normal

La fórmula para el cálculo de probabilidades de una distribución normal es un poco compleja:

Si observa detalladamente podrá ver que esta expresión depende solo de μ y de σ. Pero más que saber calcular los valores de probabilidad a través de esta fórmula, importa el saber distinguir sus propiedades.

Características de las distribuciones normales:

• Tiene forma de campana.
• Es simétrica, es decir, media = moda = mediana. Estas medidas están ubicadas en el punto más alto de la distribución.
• Es asintótica, es decir los extremos nunca llegan a cortar el eje x.
• La ubicación de la distribución normal está determinada por la media.

Distribución normal estándar.

En una distribución normal con características bastante peculiares:

• Media = 0 y Desviación Estándar = 1
• Alrededor del 68% del área debajo de la curva se encuentra dentro de una desviación estándar de la media. Aproximadamente el 95% de los datos está comprendido entre dos desviaciones estándar. Y el 99,9% entre 3 desviaciones estándar. Esto se conoce como regla empírica.

Toda distribución normal puede convertirse en una distribución normal estándar, a través de la estandarización o tipificación de la variable en estudio.

Ejemplo 30. Los ingresos semanales de los supervisores de turno en la industria del vidrio tienen una distribución normal con una media de $1000 y una desviación estándar de $100. si se selecciona un trabajador en forma aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad que posea un ingreso entre $1000 y $1100?

Se define:
X: ingreso de un trabajador de la industria del vidrio

μ = $1000 ; σ = $100

P(1000 ≤ X ≤ 1100) = P(0 ≤ z ≤ 1) = 34,13%


¿Cuál es la probabilidad que posea un ingreso entre $790 y $1000?
P(790 ≤ X ≤ 1000) = P(-2,10 ≤ z ≤0) = 48,21%


¿Cuál es la probabilidad que posea un ingreso menos a $790?
P(X ≤ 790) = P(z ≤ -2,10) = 1- 0,4821 = 1,79%


¿Cuál es la probabilidad de que posea un ingreso entre $840 y $1200?
P(840 ≤ X ≤ 1200) = P(-1,60 ≤ z ≤ 2,00)
                               = P(-1,60 ≤ z ≤ 0) + P(0 ≤ z ≤ 2,00)
                               = 0,4452 + 0,4772
                               = 92,24%


Ejemplo 31. La compañía Firestone desea establecer una garantía de kilometraje mínimo en su nuevo neumático P978. Algunas pruebas revelan que el kilometraje promedio es de 67900 con una desviación de 2050 km. Además, la distribución del kilometraje sigue una distribución normal.

Quieren establecer el kilometraje mínimo garantizado de manera que no haya que sustituir más del 4% de los neumáticos. ¿Qué kilometraje mínimo debe anunciar Firestone?

Definimos:
X: duración en kilómetros de los neumáticos
Necesitamos un valor de z que cumpla que: P(z ≤ k) = 4%
Buscando dentro de la tabla se tiene: k = -1,75

Z = (X – 67900) / 2050
-1,75 = (X – 67900) / 2050 
X = 64312

El kilometraje mínimo a garantizar debería ser de 64312.

Versión Descargable del Material

a continuación podrá descargar este mismo material en una versión adecuadamente formateada para ser impresa. El material está en formato PDF. Adicionalmente incluye una serie de ejercicios propuestos.