Teoría de la Probabilidad - Unidad I - Conceptos Básicos

Teoría de la probabilidad no es solo matemática estadística. Es una forma nueva de ver el mundo y entenderlo. Esto permitirá que, en la toma de decisiones, usted cuente con una herramienta objetiva, si bien no es infalible, al menos dará directrices. Adicionalmente lo convertirá en un “mejor consumidor de información”, todo ello contribuye a la formación de un profesional integral. Por otro lado, esa nueva forma de pensamiento tendrá como consecuencia inmediata una ampliación de sus esquemas mentales

Probabilidad

Valor entre cero (0) y uno (1), inclusive, que describe la posibilidad (probabilidad, viabilidad) relativa de que ocurra un evento. Estos valores se pueden expresar como un número decimal (0,10), como una fracción (1/10) o como porcentaje (10%)

Definiciones Básicas.

Experimento Aleatorio: Proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de varias observaciones posibles, no pudiéndose predecir de antemano cuál de ellos va a producirse en una experiencia concreta. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda. Se puede observar cómo se lanza, pero no se sabe si caerá “cara” o “sello”.

Experimento Determinista: Proceso que lleva a la ocurrencia de una y sólo una de varias observaciones posibles, que, realizado en las mismas condiciones, se obtiene siempre el mismo resultado (de éstos se ocupa la Física).

Resultado: La consecuencia de un experimento en particular. Los resultados posibles del experimento “lanzar una moneda” son dos: “que caiga cara” o “que caiga sello”.

Evento: Conjunto de uno o más resultados de un experimento. Subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo, del experimento “lanzar dos monedas al aire”, un evento podría ser: “que se obtengas dos caras”
Los eventos pueden ser:

• Seguros: cuando se tiene certeza que ocurrirán. Tienen un valor de probabilidad asignado de uno (1). Ejemplo “Obtener una cara o un sello al lazan una moneda”.
• Imposible: cuando se tiene certeza que no ocurrirán. Tiene un valor de probabilidad asignado de cero (0). Ejemplo “Obtener un ocho (8) al lanzar un dado”.
• Independientes: Cuando la probabilidad de ocurrencia de uno NO afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
• Dependientes: Cuando la probabilidad de ocurrencia de uno SI afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
• Mutuamente Excluyente: La ocurrencia de un evento significa que ninguno de los otros puede ocurrir al mismo tiempo. Un ejemplo lo es el experimento “sexo de una persona”, cuyos resultados posibles son: “M” y “F”. El evento “Hombre” es excluyente del Evento “Mujer”. Una misma persona no puede cumplir con ambos eventos a la vez.
• Colectivamente Exhaustivo: Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir al realizar el experimento.
• Complementario: Cuando uno es la negación de otro y en conjunto hacen el espacio muestral.

Espacio muestral

Conjunto de todos los resultados posibles producto de la realización de un experimento en particular.

Ejemplo 1. determine el espacio muestral y defina algunos eventos en los siguientes experimentos: a) lanzamiento de un dado, b) lanzamiento de dos dados, c) lanzamiento de dos monedas.

Enfoque para asignar probabilidades

Existen varios enfoques que dictaminan la forma de asignar probabilidades. La teoría de la probabilidad estudia los distintos enfoques a fin de poder asignar valores de probabilidad a distintos eventos. En el diagrama siguiente se muestra dichos enfoques.

Probabilidad Clásica

Se basa en la suposición de que los resultados de un experimento son igualmente viables:

Ejemplo 2. Considere un experimento de tirar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que el evento “salga un número par” ocurra?
Los resultados posibles son:

• Salga uno (1)
• Salga dos (2)
• Salga tres (3)
• Salga cuatro (4)
• Salga cinco (5)
• Salga seis (6)

En el conjunto de resultados posibles (espacio muestral) que son igualmente probables hay tres resultados favorables (dos, cuatro, seis), por tanto:

Probabilidad Empírica

Basada en las frecuencias relativas. La probabilidad de que un evento suceda se determina:

Ejemplo 3. El 1 de febrero de 2003, explotó el trasbordador espacial Columbia. Este fue el segundo desastre en 113 misiones espaciales para la NASA. Con base a esta información, ¿Cuál es la probabilidad de que una misión futura se realice con éxito?

Lo anterior se puede tomar como un estimado de la probabilidad. Con base a la experiencia pasada, la probabilidad de que una misión del trasbordador espacial en el futuro sea exitosa es de 98%.

Probabilidad Subjetiva

Posibilidad (probabilidad) de que un evento en particular suceda, que asigna un individuo con base en la información disponible. Algunos ejemplos de probabilidad subjetiva son:

• Estimar la probabilidad de que la selección de fútbol venezolana clasifique para el próximo mundial.
• Estimar la probabilidad que apruebe el presente curso de estadística.

Reglas para Calcular Probabilidades

Hasta ahora ya definimos las distintas estrategias que se siguen a la hora de asignar probabilidades, ahora nos centraremos en el cálculo de probabilidad para dos a mas eventos.

Regla de Adición

La regla de adición aplica cuando se quiere conocer la probabilidad que ocurra la unión de los eventos (el evento A ó el evento B), se denota como P(A o B). Es importante distinguir cuando se trata de eventos mutuamente excluyentes y cuando no.

En términos generales, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Cuando los eventos a estudiar son mutuamente excluyentes, entonces se tiene que (A y B) = Ø, quedando la regla de adición como: P(A o B) = P(A) + P(B)

Ejemplo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta elegida de una baraja estándar sea un Rey o un Corazón?

No se trata de eventos excluyentes ni exhaustivos. Se tiene que:

Por lo tanto:

                   P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
                   P(A o B) = 4/52 + 13/52 – 1/52
                   P(A o B) = 30,77%



Ejemplo 5. En un proceso de llenado automático de empaques de azúcar, se revisa 4000 paquetes.

¿Cuál es la probabilidad de que un paquete le sobre o le falte peso?
Por ser eventos excluyentes se tiene que:

                   P(A o C) = P(A) + P(B)
                   P(A o C) = 0,025 + 0,075
                   P(A o C) = 0,10

Si los eventos son exhaustivos (como es el caso) se cumple la regla del complemento:

P(A) = 1 – P(~A)

P(A o C) = P(~B) = 1 – P(B) = 1 – 0,90 = 0,10

Regla de la Multiplicación

Se emplea cuando se quiere conocer la probabilidad de que dos eventos sucedan de manera simultánea. Aquí es importante distinguir cuando se tratan de eventos independientes o dependientes.

Si los eventos SON independientes, aplica la regla especial, la cual reza:

P(A y B) = P(A)P(B)

Si los eventos NO SON independientes, aplica la regla general, la cual reza:

P(A y B) = P(A)P(B|A)

Probabilidad Condicionada

En ocasiones la probabilidad de ocurrencia de un evento está sujeta (depende) de la ocurrencia o no de algún otro suceso (evento). Generalmente de la dependencia de un evento con respecto a otro está determinado por la forma en que se lleve a cabo el experimento.

Ejemplo 6. Una encuesta realizada a un grupo de ejecutivos de GM, Co. Reveló que el 60% de ellos hizo alguna reservación en una línea aérea el año pasado. Se seleccionan dos miembros de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan hecho una reservación en una línea aérea el año pasado?

Se definen los eventos:

                   E1: Que el primer Ejecutivo seleccionado haya hecho reservación.  
                   E2: Que el segundo Ejecutivo seleccionado haya hecho reservación.


                   P(E1) = 0,6
                   P(E2) = 0,6

Son eventos independientes, por tanto

                  P(E1 y E2) = P(E1)P(E2)
                  P(E1 y E2) = (0,6)(0,6) = 0,36




Ejemplo 7. En una caja hay 10 CD vírgenes, de los cuales se sabe 3 están defectuosos. Si se extraen secuencialmente dos CD de manera aleatoria, sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?

Se definen los eventos:

                  D1: Primer CD seleccionado es defectuoso.
                  D2: Segundo CD seleccionado es defectuoso.

Se tienen que:

                  P(D1) = 3/10
                  P(D2) = 3/9 si en primer CD no es defectuoso. Lo cual se denota por: P(D2|~D1)
                  P(D2) = 2/9 si el primer CD seleccionado era defectuoso. Se denota por: P(D2|D1)

                  P(D1 y D2) = P(D1)P(D2|D1)
                  P(D1 y D2) = (3/10)(2/9) = 6/90



Ejemplo 8. Determine las probabilidades conjuntas de todos los casos posibles…

Tablas de Contingencia

También conocidas como tablas de doble entrada, se pueden presentar tanto en términos absolutos como relativos, para las segundas, hay tres variaciones: relativas respecto al total, relativas respecto a las columnas y relativas respecto a las filas.

Probabilidad Total

Sea A1, A2,..., An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

Ejemplo 9. Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería.

Se definen los eventos:

                  A1: “Unidades de Trasporte de la línea 1”
                  A2: “Unidades de Trasporte de la línea 2”
                  A3: “Unidades de Trasporte de la línea 3”
                  B: “Sufrir una avería”

Se conoce que:

                  P(A1) = 60% P(A2) = 30% P(A3) = 10%
                  P(B|A1) = 2% P(B|A2) = 4% P(B|A3) = 1%

Determine:
P(B) = ¿?

                  P(B) = P(A1). P(B|A1) + P(A2). P(B|A2) + P(A3). P(B|A3)
                  P(B) = (0,6) (0,02) + (0,3) (0,04) + (0,1) (0,01)
                  P(B) = 0,012 + 0,012 + 0,001
                  P(B) = 0,025

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad del evento A condicionada a la ocurrencia del evento B, a partir de la probabilidad de que ocurra el evento B condicionada a la ocurrencia del evento A. permite calcular la probabilidad de ocurrencia de las causas, a partir de las consecuencias que han podido ser observadas.

Derivación de la fórmula:

Ejemplo 10. En un país existe una enfermedad peculiar, la cual la padecen el 5% de la población. Existe una técnica de diagnóstico, pero no es muy precisa. Evidencias históricas demuestran que, si una persona tiene la enfermedad, la probabilidad de que la prueba indique su presencia es de 90%. Y existe una probabilidad del 15% de que la prueba indique su presencia aun cuando en realidad no tiene la enfermedad.

Supongamos que se selecciona al azar a un habitante de ese país, le realizamos la prueba y ésta indica que la enfermedad está presente. ¿Qué probabilidad hay de que la persona realmente padezca la enfermedad?

Se definen los eventos:

                  A1: “Tiene la enfermedad”
                  A2: “No tiene la enfermedad”
                  B: “La prueba indica que la enfermedad está presente”

De lo anterior se tiene:

                  P(A1) = 5%;
                  P(A2) = 1- P(A) = 95% (son eventos complementarios)
                  P(B|A1)) = 90%
                  P(B|A2) = 15%
                  P(A1|B) = ¿?

Con la ayuda del teorema de Bayes podemos determinar la probabilidad a posteriori:

Ejemplo 11. Un fabricante de equipos electrónicos usa un microchips en su producto. Este lo obtiene de tres proveedores. A continuación, se muestra la cantidad de microchips que se compran a cada empresa y sus tasas de fallos:

Si todos se encuentran en un mismo lote, si se escoge uno al azar y está defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad que sea de SS?

Se definen los eventos:

                  A1: “El chips pertenece a HE”
                  A2: “El chips pertenece a SS”
                  A3: “El chips pertenece a CC”
                  B1: “El chips está defectuoso”
                  B2: “El chips no está defectuoso”


Se conocen las siguientes probabilidades:

Principios de Conteo

Fórmula de la Multiplicación

Se utiliza para calcular el número de arreglos posibles para dos a más grupos. Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra, hay m.n formas de hacer ambas. Esta regla se puede extender a más de dos eventos.

Ejemplo 12. Si usted tiene 8 camisas distintas y 6 pantalones. ¿Cuántos arreglos puede formar?
En este caso hay (m)(n) = (8)(6) = 48 arreglos posibles.

Fórmula de la Permutación

Si interesa conocer el número posibles de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos y el orden en que se dispongan es importante, se emplea la fórmula de la permutación:

Ejemplo 13. En una competencia donde participan 5 atletas, se premiaran solo los tres primeros lugares, con oro, plata y bronce, según terminen. ¿De cuántas formas diferentes puede culminar la competencia?

Y si se ofreciesen premiaciones a los cinco competidores ¿Cuántos arreglos distintos se formarían?

Fórmula de la Combinación

Si interesa conocer el número posibles de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos y el orden en que se dispongan NO es importante, se emplea la fórmula de la combinación:

Ejemplo 14. En una competencia donde participan 5 atletas, se seleccionarán solo los tres primeros lugares, para que pasen a la siguiente etapa. ¿De cuántas formas diferentes puede culminar la competencia?

Versión Descargable del Material

a continuación podrá descargar este mismo material en una versión adecuadamente formateada para ser impresa. El material está en formato PDF. Adicionalmente incluye una serie de ejercicios propuestos.